目前，國產(chǎn)及進(jìn)口專用機(jī)床所提供的編程系統(tǒng)均采用平面包絡(luò)計(jì)算方法，即認(rèn)為加工過程中刀具與工件的接觸點(diǎn)軌跡為平面曲線。而實(shí)際在三坐標(biāo)專用數(shù)控銑床上進(jìn)行包絡(luò)加工時(shí)，刀觸點(diǎn)軌跡為復(fù)雜的空間曲線，因此，按平面包絡(luò)計(jì)算方法所得的刀具軌跡及數(shù)控程序必然存在理論誤差，影響加工精度。筆者對(duì)截面包絡(luò)法數(shù)控加工螺旋面時(shí)，刀觸點(diǎn)和刀具運(yùn)動(dòng)軌跡的計(jì)算方法進(jìn)行研究，提出一種新的計(jì)算刀觸點(diǎn)的“最小有向距離算法”。這種算法不僅適用于在三坐標(biāo)聯(lián)動(dòng)的數(shù)控機(jī)床上加工螺旋面，而且，可推廣到多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控機(jī)床上加工自由曲面。
　　1“最小有向距離算法”的原理
最小有向距離算法中，所謂的“有向距離”指在空間6個(gè)自由度的距離，包括直線距離和轉(zhuǎn)向距離。而在數(shù)控加工時(shí)，3個(gè)平動(dòng)運(yùn)動(dòng)（X、Y、Z）和3個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)（A、B、C）完成的先后順序不影響刀具的最后位置，實(shí)線表示路徑為先作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)后作平移運(yùn)動(dòng)，虛線表示先作平移運(yùn)動(dòng)后作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，在前幾個(gè)平動(dòng)運(yùn)動(dòng)或旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)后，剩下最后一個(gè)運(yùn)動(dòng)（平動(dòng)或旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)）則稱為終結(jié)運(yùn)動(dòng)。將刀具的運(yùn)動(dòng)離散稱為各個(gè)自由度的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，當(dāng)幾個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)完成后，剩下1個(gè)終結(jié)運(yùn)動(dòng)時(shí)，就將運(yùn)動(dòng)模型簡化為單自由度運(yùn)動(dòng)問題，在這種運(yùn)動(dòng)模型下對(duì)“最小有向距離算法”進(jìn)行討論。
　　最小有向距離算法近似于投影法，假設(shè)刀具位于某個(gè)不干涉的初始位置，為找到每個(gè)接觸點(diǎn)的位置，將刀具運(yùn)動(dòng)方向由遠(yuǎn)處向工件運(yùn)動(dòng)，與待加工曲面剛好接觸為止，接觸點(diǎn)即為嚙合點(diǎn)（刀觸點(diǎn)）。尋找刀觸點(diǎn)的問題實(shí)際上就是求解刀具曲面和被加工曲面的有向距離最小值的問題。假設(shè)刀具從一個(gè)位置向下一個(gè)位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，已完成幾個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)，最后只剩1個(gè)平動(dòng)的終結(jié)運(yùn)動(dòng)，沿該運(yùn)動(dòng)方向與待加工曲面接觸。
　　這里的終結(jié)運(yùn)動(dòng)方向在數(shù)控機(jī)床上為X、Y、Z三個(gè)坐標(biāo)軸方向的任意一個(gè)。不失一般性，設(shè)刀具沿X軸方向的運(yùn)動(dòng)為終結(jié)運(yùn)動(dòng)。
　　如所示，取坐標(biāo)系S（O-X，Y，Z）。假定有構(gòu)件1和2，其上分別有曲面F1和F2存在。設(shè)構(gòu)件1靜止不動(dòng)，構(gòu)件2只沿X軸作平移運(yùn)動(dòng)。構(gòu)件2自初始位置作位移Δx后，曲面F2達(dá)到位置F2′，那么沿X軸方向距離最近的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)M1和M2首先在M1點(diǎn)接觸―――接觸條件。如果在M1點(diǎn)處2個(gè)曲面的法線方向相同，即滿足嚙合條件中的相切條件，那么點(diǎn)M1和M2則是一對(duì)嚙合點(diǎn)。
　　2原理的論證
首先證明F1、F2兩曲面上沿X軸方向距離最小的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M1和M2，在兩曲面沿X軸方向平移接觸時(shí)為一對(duì)滿足嚙合條件的接觸點(diǎn)，即證明其法線方向一致。設(shè)曲面F1和F2是光滑曲面，其方程分別為：F1（x，y，z）=0（1）F2（x，y，z）=0（2）解析上要求函數(shù)F1（x，y，z）和F2（x，y，z）一階連續(xù)可微，有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，二階偏導(dǎo)數(shù)存在且不為零。
　　假設(shè)在接觸點(diǎn)M1（x，y，z）的附近有9F1/9x≠0，9F2/9x≠0（若9F1/9x或9F2/9x中有一個(gè)為零，這時(shí)則在M1點(diǎn)該曲面的切平面與x軸平行，可以選取y軸或z軸方向?yàn)榻K結(jié)運(yùn)動(dòng)方向），根據(jù)隱函數(shù)存在定理，有且僅有一個(gè)有單值連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)存在：x=f1（y，z）（3）x=f2（y，z）（4）式（3）、（4）分別為F1、F2曲面方程顯函數(shù)表示形式。即：x-f1（y，z）=0（5）x-f2（y，z）=0（6）那么兩曲面上這一對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離為：Δx=G（y，z）=f2（y，z）-f1（y，z）（7）式中：G（y，z）為關(guān)于y，z的函數(shù)。
　　根據(jù)曲面法矢量的定義，兩曲面上任意一點(diǎn)的法線矢量分別為：N_1={1，-f1y，-f1z}（8）N_2={1，-f2y，-f2z}（9）由于曲面F2只沿x軸方向運(yùn)動(dòng)使點(diǎn)M1和M2達(dá)到接觸，所以M1點(diǎn)和M2點(diǎn)在y，z軸上的坐標(biāo)值相同。設(shè)M1點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，y1，z1），M2點(diǎn)坐標(biāo)為（x2，y1，z1）則有：曲面F1上M1點(diǎn)的法矢量為：
　　N_M1={1，-f1y1，-f1z1}（10）曲面F2上M2點(diǎn)的法矢量為：N_M2={1，-f2y2，-f2z2}（11）單位法矢量分別為：n_1=1‖N_M1‖{1，-f1y，-f1z}（12）n_2=1‖N_M2‖{1，-f2y，-f2z}（13）式中：‖N_M1‖，‖N_M1‖分別為法矢量N_M1，N_M2的模?！琋_M1‖=1 f1y2 f1z2，‖N_M2‖=1 f22y f22z在初始位置時(shí)，M1，M2點(diǎn)之間的距離為Δx，則有：Δx=x2-x1=G（y1，z1）=f2（y1，z1）-f1（y1，z1）（14）根據(jù)2個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之和（差）的導(dǎo)數(shù)等于這2個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)之和（差）的性質(zhì)可知，函數(shù)Δx=G（y，z），在點(diǎn)（y1，z1）處的一階偏導(dǎo)數(shù)9G9y，9G9z存在且連續(xù)。
　　9G9y=9f29y-9f19y（15）9G9z=9f29z-9f19z（16）又因M1、M2兩點(diǎn)間距離最近，函數(shù)Δx=G（y，z）在點(diǎn)（y1，z1）處有極小值，根據(jù)函數(shù)取得極值的必要條件可知，它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零，即：（9f29y-9f19y）（y1，z1）=0（17）（9f29z-9f19z）（y1，z1）=0（18）則有：f2y（y1，z2）=f1y（y1，z2）（19）f2z（y1，z2）=f1z（y1，z2）（20）將式（19）、（20）依次代入式（12）、（13）中得：n_1=n_2。
　　也就是說在沿x軸方向距離最近的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)M1、M2處，法線矢量方向相同。又有在空間直角坐標(biāo)系中，向量沿任意方向作平移運(yùn)動(dòng)，其大小、方向均不變。所以，兩曲面F1、F2在接觸點(diǎn)M′處相切，滿足相切條件。
　　在不干涉的前提下，任一瞬時(shí)曲面F1、F2上沿x軸方向距離最近的一對(duì)對(duì)應(yīng)M1、M2經(jīng)平移后，在點(diǎn)M′處接觸，既滿足嚙合條件的接觸條件又滿足相切條件，所以這一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)嚙合點(diǎn)。還可證明，若M1和M2點(diǎn)分別是F1、F2兩曲面上沿x軸方向平行移動(dòng)時(shí)的一對(duì)嚙合點(diǎn)，則M1和M2是F1和F2兩曲面上的一對(duì)距離最近的點(diǎn)。
　　這樣就得到一個(gè)定理，在不干涉條件下，兩個(gè)連續(xù)可微曲面在給定的直線方向上，距離最小的點(diǎn)就是兩曲面沿該方向平動(dòng)接觸時(shí)的嚙合點(diǎn)，充分條件和必要條件均成立。
　　3結(jié)論
在實(shí)際應(yīng)用中，一般簡化為終結(jié)運(yùn)動(dòng)平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)模型。因?yàn)樵趹?yīng)用該理論進(jìn)行程序編制時(shí)，有向距離的計(jì)算是程序計(jì)算的核心部分，循環(huán)次數(shù)最多。終結(jié)運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)，方程的建立比較容易，且只是簡單的直線距離計(jì)算問題，計(jì)算速度快。而終結(jié)運(yùn)動(dòng)為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對(duì)于平動(dòng)而言，由于涉及到旋轉(zhuǎn)角度問題方程的建立比較麻煩。此外，目前的數(shù)控機(jī)床，無論是二軸聯(lián)動(dòng)還是多軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床，均有平動(dòng)運(yùn)動(dòng)，所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，一般將平動(dòng)運(yùn)動(dòng)作為終結(jié)運(yùn)動(dòng)來進(jìn)行分析計(jì)算。